Forschungsprogramm

• Einschätzung des Forschungsgebiets
  
  Der Siegeszug der quantitativen Modellierung in den sich schnell enwickelndenden Gebieten der Naturwissenschaften, wie z.B. den Materialwissenschaften und der Biologie, bringt eine Vielzahl von neuen mathematischen Modellen hevor. Die Vorhersagekraft dieser Modelle muss getestet werden, Methoden für eine effiziente Behandlung müssen entwickelt werden. Hierin liegt eine große Chance für die Mathematik.
  Die zunehmende Leistungskraft der Rechner eröffnet neue Horizonte in der Modellierung: Es ist möglich geworden, in kurzer Zeit die konkreten Vorhersagen eines realistischen Modells zu gewinnen, diese mit dem Experiment zu vergleichen und das Modell daraufhin gegebenenfalls zu modifizieren. In der Mathematik werden Begriffe, theoretische und numerische Methoden entwickelt, die eine saubere und zugleich effiziente Behandlung der Modelle ermöglichen. Die Mathematik muss sich mit ihrem spezifischen Know-How auf diesem Gebiet durch Wandel und Flexibilität etablieren und behaupten.
  Hierzu ist es entscheidend, theoretische Analysis, numerische Simulation und Modellierung enger zu verknüpfen. Die Analysis (einschließlich der Stochastischen und Numerischen Analysis) sollte sich stärker in die Modellbildung und -validierung einbringen, - und wird gerade aus dieser Verbindung die notwendigen Impulse erhalten, um sich auf hohem Niveau weiterzuentwickeln.


• Leitmotive und Stoßrichtungen
  
  Unser Thema ist die Untersuchung von singulären Phänomenen und Skalierungen in mathematischen Modellen.
  Mit der engen Kombination theoretisch-analytischer und numerischer Untersuchungen verfolgen wir das langfristige Ziel einer effizienten Behandlung von neuartigen Modelltypen. Den Beweis für das Potential dieser Kombination wollen wir durch die Behandlung ausgewählter, konkreter Phänomene antreten. Ist das betrachtete Modell in der Lage, die experimentelle Beobachtung qualitativ oder quantitativ zu reproduzieren? Wenn ja, welche der Modellannahmen sind für diesen mathematischen Effekt essentiell, welche Mechanismen sind vernachlässigbar? Wenn nein, wie könnte das Modell modifiziert werden?
  Die Behandlung von singulären Phänomenen zwingt uns, qualitativ neue und mathematisch anspruchsvolle Methoden zu entwickeln. Es kann sich also nicht um "kompakte Störungen" wohlverstandener Techniken handeln. Ausgangspunkt sind konkrete Modelle aus naturwissenschaftlichen Anwendungen. Manchmal arbeiten wir auch mit idealisierten Modellen, die im Sinne einer fortgeschrittenen Mathematisierung den singulären Charakter bestimmter Anwendungsmodelle gezielt herausschälen.
  Jedes der im folgenden genannten Leitmotive zieht sich durch alle drei Projektbereiche - jeder Projektbereich hat eine speziefische Art, sich die drei Leitmotive anzueignen. Alle unten erwähnten Einzelthemen treten in verschiedenen Teilprojekten dieses Antrags auf.



ASYMPTOTISCHES SKALIERUNGSVERHALTEN UND SELBSTÄHNLICHKEIT

Komplexe Modelle aus den Naturwissenschaften zeigen in charakteristischen Größen ein unterschiedliches Skalierungsverhalten auf unterschiedlichen Zeitskalen. Z.B. die Polymerdynamik weist aufgrund des Spektrums von Relaxionszeiten unterschiedliches Skalierungsverhalten in unterschiedlichen Zeitregimen auf. Auch das Korn- und Inselwachstum bei Metalllegierungen zeigt ein charakteristisches Skalierungsverhalten. Die Übergänge im Skalierungsverhalten sind eine Konsequenz der wechselnden nichtliniearen Interaktion der modellierten Mechanismen.
Interagierende Teilchensysteme weisen nahe der kritischen Temperatur (einer Singularität im Phasendiagramm) ein weitgehend universelles Skalierungsverhalten auf. Wenn man die Fluktuationen im Skalenlimes renormalisiert, erhält man eine stochastische partielle Differentialgleichung mit charakteristischer Nichtlinearität, die aufgrund ihrer singulären Natur geeignet interpretiert werden muss.
Stochastische Prozesse in inhomogenen, fraktalen oder zufälligen Medien zeigen häufig ein anomales Skalierungsverhalten, dessen rigorose Behandlung sich den existierenden Methoden z.T. noch entzieht. Wir wollen auch untersuchen, wie sich im asymptotischen Skalierungsverhalten von Drift-Diffusionsprozessen oder geodätischen Flüssen die Statistik des Geschwindigkeitsfeldes bzw. die Geometrie des Grundraumes samt seiner Singularitäten ausdrückt.
Die Untersuchung von asymptotischem Skalierungsverhalten und den dadurch definierten charakteristischen Exponenten ist ein natürlicher Einstiegspunkt für eine mathematische Bahandlung. Zudem sind es häufig gerade diese Exponenten, die das Experiment zuverlässig liefert. Hinter dem asymptotischen Skalierungsverhalten steht stets eine approximative, häufig nur statistische Selbstähnlichkeit, die mathematisch durch Renomierung oder Homogenisierung erfasst werden kann.



MEHRSKALIGKEIT UND MODELLHIERARCHIEN

Die Mehrskaligkeit der Modelle aus den naturwissenschaftlichen Anwendungen ist eine der großen Herausforderungen an Analysis und Numerik. Manche dieser Skalen sind durch Dimensionsargumente offensichtlich, andere sind versteckt und nur einer subtileren Analysis zugänglich. In der Regel sind die charakteristischen Skalen klar separiert, was ein Arbeiten mit Modellhierarchien nahelegt.
Besonders spannend sind Modellhierarchien, in denen die Modelle auf den einzelnen Stufen von verschiedenem mathematischem Typ sind: diskret-kontinuierlich, stochastisch-deterministisch, diskret-kinetisch-hydrodynamisch. Gerade die Ankopplung von Molekulardynamik an die Kontinuumsmechanik und makroskopische Thermodynamik ist von zunehmender Bedeutung in den Anwendungen. Es geht darum, die Kopplungen dieser Stufen mittels formaler Asymptotik, rigoroser Analysis und numerischer Simulation zu verstehen und zur Abteilung der Modellvorhersagen oder der Entwicklung effizienter numerischer Verfahren zu nutzen. Auch hier sind die Renormalisierungsstrategien der statistischen Mechanik wichtig. Von besonderem Interesse ist das räumliche Nebeneinander unterschidlicher Modellstufen.
Eine wichtige Variante der Herleitung von Modellhierarchien ist die Dimensionsreduktion, wie sie sich gerade in den modernen Materialwissenschaften (dünnen Schichten) oder der Biologie (Membrane) anbietet. In der Regel sind die niederdimensionalen Objekte noch an volldimensionale Feldgleichungen (z.B. Maxwellgleichungen bzw. Navier-Stokes) gekoppelt. Diese Kopplung wird durch Dimensionsreduktion singulär; die numerische Behandlung der Kopplung ist diffizil.
Auch der Aspekt der Dimensionsreduktion wird parallel innermathematisch z.B. durch die Untersuchung von Differentialoperatoren auf kollabierenden Mannigfaltigkeiten (volldimensionale Mannigfaltigkeiten zu Quantengraphen) beleuchtet. Hierbei sollen auch unterschiedliche Dimensions- und Krümmungseffekte auf verschiedenen Zeit- und Längenskalen analysiert werden, etwa bei Triangulierungen oder Graphen.



SINGULARITÄTEN UND ENTARTUNG

Vom innermathematischen Standpunkt ist das Konzept der Skalierungsinvarianz eng verwandt mit dem der Singularität: Singularitäten sind durch Skalierungsinvarianzen charakterisiert, skalierungsinvariante Modellklassen enthalten singuläre (Limes-) Objekte. Z.B. die Nicht-Eindeutigkeit des Gibbsmaßes und die einen Phasenübergang charakterisierende Singularität tritt erst im Limes unendlich vieler Teilchen auf.
In der Numerischen Analysis bedeuten Singularitäten in den Daten (z.B. in Koeffizienten oder Gebietsgeometrie) gerade ein Abweichen von der Skalierungsinvarianz im Rⁿ und erfordern ein geeignetes Zoom-In. Bei der numerischen Behandlung von partiellen Differentialgleichungen mit degenerierten Koeffizienten sind Wavelets und Mehrgitterverfahren aufgrund ihrer hierarchischen Struktur besonders geeignet, die auftretenden Singularitäten adaptiv aufzulösen. Die in der numerischen Behandlung auftretenden Techniken reichen von Nichtlinearer Approximationstheorie bis zur Lastbalancierung bei Parallelisierung.
Degenerierte Koeffizienten eines linearen elliptischen Differentialoperators können auch als Singularitäten in der Geometrie des Grundraumes gelesen werden. Ebenso führt die Approximation von Mannigfaltigkeiten durch Polyeder zu Konzentrationen von singulärer Krümmung auf niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Die Auswirkungen dieser geometrischen Singularitäten auf die Brown'sche Bewegung, auf Spektraleigenschaften von kanonischen Differentialoperatoren sowie auf den geodätischen Fluss als dynamisches System soll untersucht werden. Dabei setzen wir auf eine Kombination von stochastischen, geometrischen und analytischen Sichtweisen.
Es geht auch darum, "glatte" Begriffe und Methoden so weiterzuentwickeln, dass sie auf natürliche Klassen von Räumen, die Singularitäten zulassen, anwendbar sind, beispielsweise auf metrische Räume mit oberen oder unteren Krümmungsschranken. Hiervon werden neue Erkenntnisse auch für den nicht-singulären Fall erwartet. Beispiele für den Erfolg dieses Anstatzes sind die auf Gromov zurückgehende Theorie hyperbolischer Gruppen sowie die von Jost, Korevaar und Schoen initiierte Theorie verallgemeinerter harmonischer Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Geometische Konzepte werden auch zur Analysis auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße eingesetzt (Dirichletformen, Gradientenflussstruktur, Wassersteinmetrik).
Ein anderer, nichtlinearer Typ einer geometrischen Singularität tritt bei Modellen zur viskosen Mehrphasenströmung auf. In diesen Evolutionsproblemen beobachtet man eine Tendenz zur Ausbildung von Singularitäten in der idealisiert scharfen Grenzschicht. Hier lauten die Fragen: Treten solche Singularitäten in endlicher Zeit auf, können sie klassifiziert werden, wie können sie numerisch behandelt werden? Insbesondere in der Biologie treten "aktive" Grenzschichten auf, entlang deren Oberflächensubstanzen diffundieren. Die Konzentration der Oberflächensubstanzen kann lokal so absinken, dass sie als diskrete Molekülverteilung modelliert werden muss. Über die Kopplung mit der Flüssigkeitströmung entstehen neue Typen von Instabilitäten und Singularitäten.